absolute points라고도 불리는 circular points는 similarity transform에 불변하는 점입니다.
I,J로 표시하는데 복소수를 사용하는 저런 좌표를 canonical coordinates라고 하고 I와J는 서로 켤레 복소수 임을 알 수 있습니다.
이 두 점이 similarity transform에 불변하는 것은 왼쪽 슬라이드 두번째 식을 보면 알 수 있습니다. 변환 결과 homogeneous 좌표 모든부분에 같은 실수가 곱해지므로, 결과적으로 similarity transform에 불변함을 증명할 수 있습니다.
'circular points at infinity lie on the complexification of every real circle.'
코닉이 원이 되려면 코닉 기본식에서 a=c, b=0을 만족해합니다. complexification(infinity와 관련?)이기 때문에 x3=0인 것 같습니다. 그럼 결국 오른쪽의 코닉 식에서 만족하는 점은 circular points at infinity인 I와 J 입니다. 또한 I와 J를 외적하면 (0,0,i)인 복소수 곱의 line at infinity 가 됩니다.
두 circular points로 표현되는 degenerated dual conic은 similarity transform에 불변합니다.
line at infinity는 the dual conic의 널 벡터입니다. circular point가 line at infinity위의 점임을 생각하면 이해하기 쉬울 것입니다.
(내적에는 순서가 없다!,교환법칙성립)
공부하면서 이해하는데 어려움이 많았던 부분입니다.
일반적으로 두 벡터가 이루는 각도를 구할때, 내적을 사용합니다. 하지만 affine transform된 경우 각 벡터가 변형 되어서 기존 방법으로 원래의 각도를 구할 수 없습니다(affine 변환으로 각도가 변형됨).
우리는 transform된 conic dual to circular points(~on the projective plane)를 identify해서 위의 내적식에 적용하는 방법으로 transform된 영상에서 원래의 각도를 계산할 수 있습니다.
projective case의 공식은 결국 유클리디안의 식과 같아집니다. 이것은 projective case의 아랫부분에 있는 식(transformation rules for lines and dual conics)을 통해 이해할 수 있으실 겁니다. 그리고 코사인 90도가 0이므로 분자가 0이면 두직선이 직교한다는 것을 알 수 있습니다(이 성질을 사용해서 transformed dual conic을 구함).
projective case식에서 우리가 필요한 것은 C'*로 표현 된 projective plane에서의 dual conic입니다. 이것을 identify하는 방법은 뒤에 나올 것입니다.
이렇게 우리는 transform된 상태에서 원래의 각도를 복원 할 수 있습니다. 각도가 복원된다는 것은 각 선분의 길이 비율이 복원된다는 것과 동치입니다. 오른쪽 슬라이드의 사인 공식을 참고하시면 되겠습니다.
지금까지 우리는 dual conic을 사용하여 영상의 metric properties를 복원 할 수 있음을 보았습니다.
그럼 이제 그 계산에 필요한 transformed dual conic을 identify하여 실제로 어떻게 계산이 이루어지는지 보겠습니다.
metric properties를 복원 할때는 앞에서 나온 transformed dual conic을 구하는 방법을 사용합니다. 이 때 두가지 케이스로 나뉘는데, 첫번째로 affine rectification이 된경우에는 Hp변환이 제거된 것이기 때문에 v=0으로 K만 고려하면 됩니다. K는 2x2이므로 dof가 3입니다. 미지수가 n개인 다항식은 다항식 n-1개로 미지수들을 구할 수 있습니다. 따라서, 영상에서 원래 직교하는 직선 세트 2개를 사용해서 C'*를 구할 수 있습니다.
두번째로 affine rectification이 되지 않은 경우에는 dof가 5이므로 직교하는 직선 세트 5개를 사용하여 C'*를 구할 수 있습니다.
C'*를 구한다는 것은 transform을 측정한 것과 같고 우리는 위에서 공부했듯이 원영상에서의 각도와 길이 비율을 구하여 metric properties를 복원 한 것입니다.
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